ポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。
殆どの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。
そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者達は、
「まず、ポアンカレ予想を解かれた事に落胆し、
それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれた事に落胆し、
そして、その解の解説が全く理解できない事に落胆した」という。
高次元に拡張されたポアンカレ予想
n次元ホモトピー球面はn次元球面に同相である
数学的に厳密ではないが、たとえて言えば、宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、宇宙の形は概ね球体（＝ドーナツ型のような穴のある形、ではない）と言えるのか、という問題である。ドーナツ型だとロープを回収できない。